单随机变量传递
考虑到随机变量$X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, $g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是一个波莱尔可测函数。于是我们得到了$Y = g(X)$，我们要计算$Y$的分布。我们通过CDF$F_X(x)$来计算$F_Y(y)$
$$
F_Y(Y) = \mathbb{P}(g(X)\le y) = \mathbb{P}({\omega |g(X(\omega))\le y})
$$
设$\mathbf{B}_y$ 是满足$g(x)\le y$的所有的$x$的set，所以我们能得到$F_Y(y) = \mathbb{P}_X(B_y )$
例子1
设$X\sim \mathcal{N}(0,1)$，并设$Y = X^2$
$F_Y(y) = \mathbb{P}(X^2 \le y) = \mathbb{P}(-\sqrt { y}\le X \le \sqrt{y} )= \Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y})$
其中$\Phi$ 是$\mathcal{N}(0,1)$的CDF
同时我们知道
$$
f_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy}
$$
因为
$$
F_Y(y)= 2\int _{0 }^{ \sqrt{y} }{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-t^2}{2}}dt}
$$
且$t^2 = u$我们得到
$$
F_y(y)= 2\int _{0 }^{ y }{ \frac{1}{2\sqrt{2\pi}u} e^{\frac{-u}{2}}du}
$$
$$
f_Y(y)= \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{\frac{-u}{2}}, for\quad y>0
$$
我们知道：
- $Y$为非负值
- 这种高斯随机的开方分布$f_Y(y)$被称为Chi-squared分布
如果方程是可微和单调的，那我们可以直接获得转换后的分布
设$X$的密度函数为$f_X(x)$,$g$是一个单调递增的函数，并假设$Y = g(X)$，于是我们有
$$
F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \le y)= \mathbb{P}(g(X)\le y) = \int ^{ g^{-1}(y) }{ -\infty }{ f_x(x) }dx
$$
因为$g$是单调递增的函数，$g(x)\le y \Rightarrow x \le g^{-1}(y)$
因为$x = g^{-1}(t)$, 所以$g’(x)dx=dt$
$$
F_Y(y) = \int ^{ y }{ -\infty }{ f_X(g^{-1}(t)) }\frac{dt}{g’(g^{-1}(t))}
$$
微分可得
$$
f_Y(y) = { f_X(g^{-1}(y)) }\frac{1}{g’(g^{-1}(y))}
$$
$\frac{1}{g’(g^{-1}(y))}$可看为一个雅各比转换。
对于递减函数
$$
f_Y(y) = { f_X(g^{-1}(y)) }\frac{-1}{g’(g^{-1}(y))}
$$
所以我们可以得到
$$
f_Y(y) = { f_X(g^{-1}(y)) }\frac{1}{|g’(g^{-1}(y))|}
$$