这里拓展目标的含义是指目标在传感器中的大小大于分辨率，它占多个像素点。
测量模型
基于点状测量模型，我们得到$\mathbf{W} = \cup^R_{r=1} \mathbf{W}_r$，这被称为 multi-Bernoulli RFS。但是这个模型过于复杂。所以我们简化RFS $\mathbf{W}$ 为二项式 RFS。这样，我们就不再跟踪单个的离散点，而是跟踪物体质心及其形状/大小。所以我们得到RFS的FISST PDF是：
$$
\eta(\mathbf{W}|{\mathbf{m}}) = \frac{L!}{(L-|\mathbf{W}|)!} p_d^{|\mathbf{W}|}[1-p_d]^{L -|\mathbf{W}|} \prod_{\mathbf{w}\in\mathbf{W}} h(\mathbf{w}|\mathbf{m}) = \left { \begin{matrix} (1-p_d)^L & if \mathbf{W}=\emptyset \ Lp_d(1-p_d)^{L-1}h(\mathbf{w}|\mathbf{m}) & if\mathbf{W}={\mathbf{w}} \ … & \ L!p_d^Lh(\mathbf{w}_1|\mathbf{m})…h(\mathbf{w}_R|\mathbf{m}) & \end{matrix} \right .
$$
通常来说$p_d$是依据$\mathbf{m}$而不变，这里我们忽略了，简化为常数。在现实中，我们不仅仅考虑物体的坐标，还会考虑物体速度和形状，我们假设存在一个映射$l(\mathbf{m})$，它从状态空间映射到测量空间。因为$\mathbf{m}$是RCS（random closed set），那么$h(\mathbf{m})$也是RCS。我们定义广义似然函数（generalized likelihood function,GLF） $\tilde{ g }(\mathbf{w}|\mathbf{m})= P{\mathbf{w}\in l(\mathbf{m})}$。
下一步我们就是计算检测拓展目标的观测模型，同样先考虑$\mathbf{M} = \emptyset$, 我们$h_k(\mathbf{Z}|\emptyset) = \kappa(\mathbf{Z})$， 这导致了
$$
h(\mathbf{Z}|{\mathbf{m}}) = \eta(\emptyset|{\mathbf{m}})\kappa(\mathbf{Z})+\sum_{\Omega \in P_{1:L}(\mathbf{Z})}\eta(\Omega|{\mathbf{m}})\kappa(\mathbf{Z \backslash\Omega })
$$
其中$P_{1:L}(\mathbf{Z})$ 是 $\mathbf{Z}$全子集。如果$L \ge |\mathbf{Z}|$ 是 $\mathbf{Z}$ 的幂集减去空集。所以我们可以简化得到：
$$
h(\mathbf{Z}|{\mathbf{m}}) =\kappa(\mathbf{Z}){(1-p_d)^L+\sum_{\Omega \in P_{1:L}(\mathbf{Z})}\frac{L!}{(L-|\mathbf{\Omega}|)!}p_d^{|\Omega|}(1-p_d)^{L-|\Omega|}\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}} { \frac{h(\mathbf{z}|\mathbf{m})}{\lambda c(\mathbf{z}) } } }
$$
更新方程
我们得到
$$
f(\mathbf{Z}k|\mathbf{Z}{1:k-1}) = \kappa(\mathbf{Z}){1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}(1-p_d)^{L_k}+\sum_{\Omega \in P_{1:L_k}(\mathbf{Z})}\phi_k\frac{\int \prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}\lambda c(\mathbf{z})} }
$$
其中
$$
\phi = \frac{L_k!}{(L_k - |\Omega|)!}\frac{p_d^{|\Omega|}}{(1-p_d)^{|\mathbf{\Omega}|-L_k}}
$$
当我们考虑$\mathbf{M} = \emptyset$，我们能得到
$$
q_k = \frac{1-\triangle k }{1-q{k|k-1}\triangle k}q{k|k-1}
$$
$$
\triangle k =1-(1-p_d)^{L_k}-\sum{\Omega \in P_{1:L_k}(\mathbf{Z})}\phi_k\frac{\int \prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}\lambda c(\mathbf{z})}
$$
当$\mathbf{M}= {\mathbf{m}}$
$$
s_{k}(\mathbf{m}) = \frac{ (1-p_d)^{L_k}+\sum_{\Omega \in P_{1:L_k}(\mathbf{Z})}\phi_k\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}} { \frac{h(\mathbf{z}|\mathbf{m})}{\lambda c(\mathbf{z}) } }}{1-\triangle_k}s_{k|k-1}(\mathbf{m})
$$
当$L_k = 1$时，方程就和标准的检测模型一样。