监测测量(点状目标)
测量模型
假设测量RFS为 $\mathbf{Z}= {\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2,..,\mathbf{z}_r}$, $r = |\mathbf{Z}|$。$\mathbf{Z} = \mathbf{C}\cup \mathbf{W}$,$\mathbf{C}$ 是失败监测(clutter)的 RFS。$\mathbf{W}$ 是目标的RFS。我们假设观测的 RFS 为$\mathbf{Z}={\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2,..,\mathbf{z}_r}$。同时,这些观测是无序的。
$\mathbf{Z}$可以看成由两部分 RFS 组成:
$$
\mathbf{Z} = \mathbf{C} \cup \mathbf{W}
$$
$C$是检测失败的 RFS (比如 clutter),$W$ 是监测目标的 RFS。我们假设这些都是点目标,设监测失败的目标数目$\lambda$服从泊松分步:
$$
P{|C|=s}=\frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}, r=0,1,2,…
$$
clutter 的 FISST PDF 是:
$$
h(\mathbf{Z}|\emptyset)=\kappa (\mathbf{Z})= e^{-\lambda}\prod_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}\lambda}\lambda c(\mathbf{z})
$$
为了计算$h(\mathbf{Z}|{\mathbf{m}})$,我们需要先去计算$\mathbf{W}|{\mathbf{m}}$的 FISST PDF $\eta (\mathbf{W}|{\mathbf{m}})$,
$$
\eta (\mathbf{W}|{\mathbf{m}})= \left { \begin{matrix} p_d(\mathbf{m})h(\mathbf{z}|\mathbf{m}) & if \quad \mathbf{W} = {\mathbf{z}} \ 1- p_d(\mathbf{m}) & if \quad \mathbf{W}= \emptyset \end{matrix}\right .
$$
基于卷积定理,我们可以知道
$$
h(\mathbf{Z}|{\mathbf{m}})= \sum_{\mathbf{W}\subseteq \mathbf{Z}}\eta(\mathbf{W}|{\mathbf{m}})\kappa(\mathbf{Z}\backslash \mathbf{W})
$$
\是自差分。因为 RFS $W$ 或者是空,或者是一个目标,简化上式,我们可以得到。
$$
h(\mathbf{Z}|{\mathbf{m}})= \eta (\emptyset|{\mathbf{m}})\kappa(\mathbf{Z})+\sum_{\mathbf{z}\subseteq \mathbf{Z}}\eta({\mathbf{z}}|{\mathbf{m}})\kappa(\mathbf{Z}/ {\mathbf{z}}) = \kappa(\mathbf{Z})[1-p_d(\mathbf{m})+ p_d(\mathbf{m}) \sum_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}}h(\mathbf{z}|\mathbf{m})\frac{\kappa(\mathbf{Z}/ {\mathbf{z}})}{\kappa(\mathbf{Z})}]
$$
更新方程
这里 更新的FISST PDF变成了:
$f_{k|k} = \frac{h_k(\mathbf{Z}k|\mathbf{M}k)f{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{M}{1:k-1})}{f_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{Z}{1:k-1})}$
其中
$$f_{k}(\mathbf{Z}k|\mathbf{Z}{1:k-1})= (1-q_{k|k-1})h_k(\mathbf{Z}k|\emptyset)+q{k|k-1}\int h_k(\mathbf{Z}k|{\mathbf{m}})s{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}$$
$$f_{k}(\mathbf{Z}k|\mathbf{Z}{1:k-1})= \kappa {1-q_{k|k-1}\int p_d(\mathbf{\mathbf{m}})s_{k|k-1(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}}+ q_{k|k-1}\sum_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}k}\frac{\kappa(\mathbf{Z}k\backslash {\mathbf{z}})}{\kappa{(\mathbf{Z}_k)}}\int p_d(\mathbf{m})h_k(\mathbf{Z}_k|{\mathbf{m}})s{k|k-1}(\mathbf{m})d{\mathbf{m}} }
$$
所以我们得到
$$
\int f_{k}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k})\delta{\mathbf{M}} = 1
$$
我们考虑$\mathbf{M}k = \emptyset$情况下的$f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k})$,我们能得到:
$$
\frac{\kappa(\mathbf{Z}k\backslash {\mathbf{z}})}{\kappa{(\mathbf{Z}k)}} = \frac{1}{\lambda c(\mathbf{z})}
$$
同时还能得到
$$
f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k}) = 1 - q_k
$$
于是通过上面的式子,我们可知
$$
q_k = \frac{1 - \Delta_k}{1 - q_{k|k-1}\Delta_k}q_{k|k-1}
$$
其中
$$
\Delta _k = \int p_d(\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}-\sum_{\mathbf{z}\in \mathbf{Z}k }\frac{\int p_d(\mathbf{m})h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{\lambda c(\mathbf{z})}
$$
如果$p_d$是个常数,于是我们可以得到
$$
\Delta k = p_d(1-\sum_{\mathbf{z}\in \mathbf{Z}_k}\frac{\int h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m}d\mathbf{m})}{\lambda c(\mathbf{m})})
$$
因为$s_{k|k-1}$是常规 PDF,趋近于1.
然后我们考虑$\mathbf{M}k = {\mathbf{m}}$情况下的$f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k})$,同时我们知道$f_k(\mathbf{M}k|\mathbf{Z}{1:k}) = q_k s_k(\mathbf{m})$
我们能得到
$$
s_k(\mathbf{m}) =\frac{1-p_d(\mathbf{m}+p_d(\mathbf{m})\sum_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}k})\frac{g_k(\mathbf{z}|\mathbf{x})}{\lambda c (\mathbf{z})}}{1- \Delta _k} s{k|k-1}(\mathbf{m})
$$
如果$q_{k|k-1} =1$, $p_d =1$ 和 $q_k = 1$, 并没有失败的监测,一个物体一个监测,
$$
s_{k}(\mathbf{m}) = \frac{h_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})}{\int h_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m}) d \mathbf{m}}
$$