强度观测模型
这个模型的应用在：图像的像素点，在距离-多普勒-方位地图上的一个点，传感器网络上的一个节点。我们能将$n$个测量值存储在一个测量向量中，$\mathbf{z}_k = [z^1_k,z^2_k,…,z^n_k]^T$,
$$
z^r_k = \left { \begin{matrix} c^r_k(\mathbf{m}_k)+ w^r_k & if \quad\mathbf{M}_k= {\mathbf{m}_k} \ w^r_k & if \quad \mathbf{M}_k = \emptyset \end{matrix}\right .
$$
$c^r_k(\mathbf{m}_k)$ 是 $\mathbf{m}_k$ 的体现，$w^r_k$ 是 r-th 观测的噪声，噪声的同分布是根据 PDF $g^{(r)}_0$。 $h^r_k$ 可以采用模型有：Gaussian point spread function, the inverse distance squared law, 和 an ambiguity function。$\mathbf{g}^r_1$ 是$\mathbf{m}_k$ 的观测为 $r-th$ 观测。所以我们能定义似然函数为：
$$
h_k(\mathbf{z}|\mathbf{X}k) = \left { \begin{matrix} \Pi^n{s=1} g^r_1(z^r_k | \mathbf{m}) & if \quad\mathbf{M}_k= {\mathbf{m}k} \ \Pi^n{s=1} g^r_0(z^r_k) & if \quad \mathbf{M}_k = \emptyset \end{matrix}\right .
$$
更新方程（update equations）
因为非 FISST 的数学模型及其复杂，对于强度观测模型的更新方程是基于 FISST。更新的 FISST PDF 遵循 Bayes 定律:
$$
f_{k}(\mathbf{M}k|\mathbf{z}{1:k}) = \frac{h_k(z_k|\mathbf{M}k)f{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{z}{1:k-1})}{p_k(z_k|z_{1:k-1})}
$$
其中
$$
p_k(z_k|z_{1:k-1}) = \int{h_k(\mathbf{z}k|\mathbf{M})f{k|k-1}(\mathbf{M}|z_{1:k-1})}\delta\mathbf{M}=(1-q_{k|k-1})h_k(\mathbf{z}k|\emptyset) + q{k|k-1}\int h_k(\mathbf{z}k|{\mathbf{M}})s{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}
$$
同时因为
$$
f_{k}(\mathbf{M}|\mathbf{z}{1:k})=0 \quad if \quad |\mathbf{M}|\ge2
$$
所以我们可以得到
$$
\int f{k}(\mathbf{M}|\mathbf{z}{1:k})\delta \mathbf{M} = 1
$$
$f{k}(\mathbf{M}k|\mathbf{z}{1:k})$是伯努利 RFS 的 FISST 概率密度。
当$\mathbf{M}k = \emptyset$时
$$
f_k(\emptyset|\mathbf{z}_{1:k}) = \frac{h_k(\mathbf{z}_k|\emptyset)f{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{z}{1:k-1})}{(1-q{k|k-1})h_k(\mathbf{z}k|\emptyset)+q{k|k-1}\int h_k(\mathbf{z}k|{\mathbf{m}})s{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}
$$
于是有
$$
1-q_k=\frac{1-q_{k|k-1}}{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}}
$$
这里
$$
l_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})= \frac{h_k(\mathbf{z}_k|{\mathbf{m}{}})}{h_k(\mathbf{z}_k|\emptyset)}=\Pi^n{r=1} \frac{g^r_1(\mathbf{z}^r_k|\mathbf{m})}{g^r_0(\mathbf{z}^r_k)}
$$
这是量测似然度比（measurement likelihhod ratio）。
$$
q_{k}=\frac{q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}
$$
这一个有效的先验存在概率的贝叶斯更新。
因为 $f_k({\mathbf{m}}|\mathbf{z}{1:k}) = q{k}s_{k}(\mathbf{m})$
首先，我们可以得到
$$
q_k s_k(\mathbf{m}) = \frac{q_{k|k-1}l_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})}{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}k|\mathbf{m})s{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}
$$
于是我们可知
$$
s_k(\mathbf{m}) = \frac{h_k(\mathbf{z}k|{\mathbf{m}})s{k|k-1}(\mathbf{m})}{\int{h_k(\mathbf{z}k|{\mathbf{m}})s{k|k-1}(\mathbf{m})}d\mathbf{m}}
$$