桑龙的博客
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伯努利滤波器（二）——随机动态方程和更新函数

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伯努利滤波器的预测方程

在跟踪问题中，我们主要考虑的是动态系统，目标的状态和数目会随时间而发生变化，每个目标也只是在一段时间内出现在视野内。根据伯努利的 RFS 方程可知，$q$为一个物体存在的概率，他的 RFS 是$p(\mathbf{m})$。同时我们假设当$|\mathbf{M}|>2$时，$f(\mathbf{M})= 0$。于是基于上文中的 set integral （集积分），我们得到：

$$
\int f(\mathbf{M})\delta \mathbf{M} = f(\emptyset) + \int f({\mathbf{m}})d{\mathbf{m}}
$$

因为$p(\mathbf{m})$ 是$\textit{M}$的常规PDF，下面的式子趋近于1。

$$ \int{f(\mathbf{M})}\delta\mathbf{M}= 1 -q + q \int{g\varphi(\mathbf{m})}d_{\mathbf{m}} =1$$

如果，目标出现，我们假设这是一个已知传递密度$p_{k|k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}’)$。我们采用$\varepsilon_k \in {0,1}$来表示目标存在。$\varepsilon_k \in {0,1}$的动态变化可以通过一个一阶马尔可夫链，其传递概率矩阵（TPM）是$\Pi$, $[\Pi]_{ij}= P{\varepsilon_k = j-1|\varepsilon_{k-1}= i -1}, i,j\in{1,2}$。于是我们得到

$$
\Pi = \left[ \begin{matrix} (1-p_b) & p_b \ (1-p_s) & p_s \end{matrix} \right]
$$

举个例子，$p_b = P{\varepsilon_{k+1} = 1|\varepsilon_k = 0 }$ 表示birth的概率。birth的密度是$b_{k|k-1}(\mathbf{m})$。
总体来说，我们可以计算传递FISST PDF $\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{M}’)$

$$
\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\emptyset) = \left { \begin{matrix} 1-p_b & if \quad\mathbf{M}= \emptyset \ p_bb_{k|k-1}(\mathbf{m}) & if \quad \mathbf{M} = {\mathbf{m}} \ 0 & if \quad |\mathbf{M}|\ge 2 \end{matrix}\right .
$$

$$
\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|{\mathbf{m}’}) = \left { \begin{matrix} 1-p_b & if \quad\mathbf{M}= \emptyset \ p_sp_{k|k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}’) & if \quad \mathbf{M} = {\mathbf{m}} \ 0 & if \quad |\mathbf{M}|\ge 2 \end{matrix}\right .
$$

伯努利滤波器的预测方程

我们设后验FISST PDF为$f_{k}(\mathbf{M}k|\mathbf{Z}{1:k})$,他包含两个部分

  • 存在目标的后验概率$q_{k} = P{|\mathbf{M}k|= 1|\mathbf{Z}{1:k}}$.
  • 后验空间PDF $s_k(\mathbf{M}) = p(\mathbf{m}k|\mathbf{Z}{1:k})$

根据RFS框架下的贝叶斯滤波器，我们可知

$$
f_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}{1:k-1}) = \int{\phi{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{M}’)f_{k-1}(\mathbf{M}’|\mathbf{Z}{1:k-1})}\delta{\mathbf{M}’}
= \phi{k|k-1}(\mathbf{M}|\emptyset)f_{k-1}(\emptyset|\mathbf{Z_{1:k-1}})+\int\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|{\mathbf{m}’})f_{k-1}({\mathbf{m’}|\mathbf{Z}_{1:k-1}})d\mathbf{m}’
$$
其中

$$
f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1}) = \phi{k|k-1}(\emptyset|\emptyset)f_{k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1}) + \int{\phi{k|k-1}(\emptyset|{\mathbf{m}’})f_{k-1}({\mathbf{m’}}|\mathbf{Z}{1:k-1})}d\mathbf{m}’ = (1-p_b)
=(1-p_b)(1-q{k-1})+(1-p_s)q_{k-1}
$$

$$
f_{k|k-1}({\mathbf{x}}|\mathbf{Z}{1:k-1}) = \phi{k|k-1}({\mathbf{m}}|\emptyset)f_{k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1}) + \int \phi{k|k-1}({\mathbf{m}}|{\mathbf{m}’})f_{k-1}(\mathbf{m}’|\mathbf{Z}{1:k-1})d\mathbf{m}’
= p_b(1-q_{k-1})b{k|k-1}(\mathbf{m}) + p_s q_{k-1}\int{p_{k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}’)s_{k-1}(\mathbf{m}’)d_{\mathbf{m}’}}
$$
同时因为 $f_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}{1:k-1}) = 0, if |\mathbf{M}|\ge2$
所以我们能够证实$\int{f{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k-1})}\delta\mathbf{M} = 1$
于是我们还可以得到

$$
1-q_{k|k-1} = f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1}) =(1-p_b)(1-q_{k-1})+(1-p_s)q_{k-1} = (1-p_b)(1-q_{k-1})+(1-p_s)q_{k-1}
$$
然后

$$
q_{k|k-1} = p_b(1-q_{k-1})+p_sq_{k-1}
$$
*所以，我们也明白了思路，计算$q_{k|k-1}$需要从$f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1})$,因为 $f{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1}) = 1 - q{k|k-1}$*。
我们也能知道，一个物体持续存在的概率包括两部分：新生物体被误认为持续存在的概率和正在持续存在的概率。
根据$f_{k|k-1}({\mathbf{x}}|\mathbf{Z}{1:k-1})= s{k|k-1}q_{k|k-1}$，我们能得到，

$$
s_{k|k-1} = \frac{p_b(1-q_{k-1}b_{k|k-1}(\mathbf{m})}{q_{k|k-1}}+\frac{p_sq_{k-1}\int{p_{k|k-1}}(\mathbf{m}|\mathbf{m}’)s_{k-1}(\mathbf{m}’)d\mathbf{m}’}{q_{k|k-1}}
$$
如果$p_b = 0$, $q_{k-1} =1$, $s_{k|k-1}$ 就是标准的Chapman-Kolmogorov

注 ：$\mathbf{m}$ 是 state, $\mathbf{M}$ 是 RFS, $\textit{M}$ 是 set of states

$f$-> RFS, $s$->后验PDF(空间上), $q$->物体继续存在的后验概率,$p_{k|k-1}$->传递密度$\pi_{k|k-1}$