简介
伯努利滤波器是一个非高斯，非线性动态系统的基于RFS滤波器。它的主要特点是它为随机动态系统设计了一个开关，特别适用于跟踪时，物体时隐时现的问题，当然也适用于传染病，污染和社会问题。
伯努利是没有解析解，可以通过 PF 或者 Gaussian sum filter 实现。依据不同的测量模型有不同实现方式，本文就将对于不用的测量模型，显示不用的实现。
通常来说，预测是基于先验知识和观测进行的，因为先验知识和观测的 state是包含了所有描述系统的信息。
所以，在一个系统中，我们已知的信息有：{开关的随机模型（参数），state 的进化变化（先验），观测（观测值）}。
观测信息和 state 是通过一个非线性模型连接，因为不完美的监测，所以观测是 noisy，imprecise，和 ambiguous。
传统贝叶斯方法的目的是通过现在位置的的所有信息计算后验的 PDF（posterior PDF）。因为 posterior PDF 包括了所有的统计信息，所以这是问题的完备解。
通过这个 PDF 可以得到最佳的 state 估计。Posterior PDF 可以通过两步计算：预测和更新。求解 posterior PDF 是 optical Bayes Stochastic filter 的根本任务。在这个系统中，随机动态过程的开关是一直打开的，measurement 只受噪音影响。前提是 detection 是完美的。
在一般的非线性非高斯的情况下，没有解析解，所以有了 Monte Carlo 的方法，进而有 particle filter 的方法，这是因为PC 性能的提升和应用的广泛。
但是detection method 通常是不完美的，measurement model 通常也是不准确的，所以，标准的 Bayes filter 也进行了一些修补。通过增加的逻辑层，比如：
（a）target的出现或消失是建立在tracking 信息的 logic 基础。
（b）不完美的 detection 方法可以通过 data association 的辅助。
（c）不准确的测量（特征）采用非 Bayesian 的网络（Dempster-shafer theory）
虽然有许多工程的精巧设计，但是这都不是最优的。
序列贝叶丝（Sequential Bayesian estimation）结合 random set theory（RS），提供了一个不完美 detection 和不准确 measurement 的数学最优解。因为对于多目标的动态系统，RS 实现起来运算量太大，于是有了一下方法：
（a）Bernoulli filter (JoTT or JoTF [joint target detection and tracking filter]).
（b）PHD
（c）CPHD
（d）multi-Bernoulli filter
Bernoulli filter 的实现与应用
BF 是在单动态系统（switch 随机 on/off）下的最优 Bayes filter 在 tracking 下就是 appear or disappear。
key idea：引入一个存在的布尔（binary）随机变量来表示开关。
Bernoulli random finite 和 传统方法 的区别，state 被看成一个 set （可以空的 或者 单元素），元素包含布尔变量。因为这种方法没有解析解，只能通过 Particle filter 或者 Gaussian sum filter 近似实现。
我们将考虑不同的常见的 measurement model。第一个模型是针对稀疏信号的强度测量，例如声波或电磁能，化学污染水平，图像等。主要应用在信号网络，雷达/声纳或视频监控中。这种通过 measurement 来进行物体监测，跟踪叫做‘track-before-detect’。第二个模型是针对measurement是 detector 输出。这种情况下，需要处理必然丢失的监测（false detection）和误报（false alarms）。我们假设这个目标物体是一个点，一个物体只有一个观测值，其他值都是错误监测。并且哪个是 false detection 是不知道的。例如，当目标物体大于传感器的分辨率，这样就会产生一系列的 detection。最后，在某些情况下，measurement function 是不能准确知道的，或者说这种测量过程就是模糊，不准确的。这些类型的测量，被称为非标准测量。这些都可以通过random set theoretical framework和Bayesian estimation framework 计算。
数学基础
标准随机贝叶斯滤波器
随机滤波器可以追溯到1960s年。Kalman 和 Bucy 创立了线性滤波理论，同时Stratonovich 和 Kushner 开创了了用概率手段来解决非线性问题。
对于一个在贝叶斯网络下的，时域离散的随机滤波问题，通常假设 state $\mathbf{m}\in\mathbf{M}$ 向量提供了动态系统某一$t_k$时刻下的完备的状态信息。设离散时间为$k$。设离散动态系统的传递方程和观测方程为
$$\mathbf{m}{k}=\mathbf{f}m(\mathbf{m}{k-1})+\mathbf{v}{k-1}$$
$$\mathbf{z}{k} = \mathbf{f}{z}(\mathbf{m}{k})+\mathbf{w}{k}$$
$\mathbf{f}{m}$ 是非线性方程，代表一阶马尔科夫过程。随机过程 $\mathbf{v}{k-1}$ 是PDF 的独立同分布 independent identically distributed (IID)。随机过程 $\mathbf{w}{k}$ 是不同于 $\mathbf{v}{k-1}$ PDF 的独立同分布。设 $\mathbf{f}{m}$, $\mathbf{f}{z}$ 和他们的 PDF $p_{\mathbf{v}}$ 和 $p_{\mathbf{w}}$ 是已知的。传递密度是 $\pi_{k|k-1}(\mathbf{m}{k}|\mathbf{m}{k-1}) = p_{\mathbf{v}}(\mathbf{m}{k-1}- \mathbf{f}{m}(\mathbf{m}{k}))$. 似然方程 $h{k}(\mathbf{z}k|\mathbf{m}k) = p{\mathbf{w}}(\mathbf{z}{k}- \mathbf{f}{z}(\mathbf{m}{k}))$。离散贝叶斯的目的就是估计状态的后验PDF $\varphi (\mathbf{m}k|\mathbf{z}{1:k})$，其中 $\mathbf{z}{1:k} \equiv \mathbf{z}{1},…,\mathbf{z}{k}$，当 $\varphi(\mathbf{m}{0})$, $\varphi(\mathbf{m}{k-1}|\mathbf{z}{1:k-1})$ 和 $\mathbf{z}_k$ 已知时，通过Chapman—Kolmogorov我们可知，
$$ \varphi(\mathbf{m}k|\mathbf{z}{1:k-1})=\int {\pi_{k|k-1}(\mathbf{m}k|\mathbf{m}{k-1})\varphi(\mathbf{m}{k-1}|\mathbf{z}{1:k-1})}d_{\mathbf{m}_{k-1}} $$
第二部是使用贝叶斯网络来更新预测的 PDF
$$ \varphi(\mathbf{m}k|\mathbf{z}{1:k}) = \frac{h_{k}(\mathbf{z}k|\mathbf{m}_k)\varphi(\mathbf{m}_k|\mathbf{z}{1:k-1})}{\int h_k( {\mathbf{z}k|\mathbf{m}_k)\varphi(\mathbf{m}_k|\mathbf{z}{1:k-1})}d_{\mathbf{m}_{k}} }$$
随机有限子集
随机有限子集（RFS）是一个在无序有限子集中取值的随机变量。RFS的基数 $\mathbf{M}$ 是随机，通过离散分布来构建 $p(n) = P{|\mathbf{M} = n|}$，$n \in N_0$.$\mathbf{M}$ 是通过他的基数分步 $p(n)$ 完全给定。并有对称联系分步$\varphi_n(\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}_n)$.
为了简化，我们采用Mahler的方法，referred to finite set statistics (FISST)。RFS变量$\mathbf{M}$的FISST为$f(\mathbf{M}$. PDF 可以通过 $p(n)$ 和 $\varphi_n(\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}_n)$ 来唯一确定。
$$ f({\mathbf{m}_1,..,\mathbf{m}_n}) = n!p(n)\varphi_n(\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}_n)$$
当为整数集时，
$$\int{f(\mathbf{M})\delta(\mathbf{M})}= f(\emptyset) + \sum^{\infty}{n =1}{\frac{1}{n!}\int{f({\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}_n})}}d{\mathbf{m}1},…,d{\mathbf{m}_n}$$
$f(\mathbf{M})$ 收敛于1.
伯努利 RFS：
RFS 的势（cardinality）分步 $p(x)$ 是伯努利的。伯努利 RFS是空（概率$1-p$）或者是一个元素(概率$p$)。所以伯努利RFS $\mathbf{M}$ 的FISST PDF可以表示为：
$$
f(\mathbf{M})=\begin{cases} \begin{matrix} 1-q & if\quad \mathbf{M} =\emptyset \ q\varphi (\mathbf{m}) & if\quad \mathbf{M}={ \mathbf{m}} \end{matrix}\end{cases}
$$
独立同分布（IID）簇RFS
已知势 $|\mathbf{M}|$ ，独立同分布簇RFS$\mathbf{M}$的元素是每个IID随机变量根据PDF $\varphi(m)$ 来分布。于是我们可知 $\mathbf{M}$ 的FISST PDF为
$$
f(\mathbf{M}) = |\mathbf{M}|!\varphi(|\mathbf{M}|)\prod_{ \mathbf{m}\in \mathbf{M}}{ \varphi(\mathbf{m}) }
$$
因为IID的独立性
$$
\varphi_n(\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}n) = \prod{ \mathbf{m}\in \mathbf{M}}{ \varphi(\mathbf{m}) }
$$
伯松RFS
伯松RFs是IDD 簇RFS的特殊形式，因为假设势的分布伯松的
$$
\varphi(\mathbf{m}) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}, n = 0,1,2,…
$$
二项式RFS
二项式RFS也是IID簇RFS的特殊形式，他的势分布是个二项式分布（项的数目为 $L$, 成功概率为 $q$）
$$
p(n) = \left(\begin{matrix} L \ n \end{matrix}\right)q^n(1-q)^{L-n}, n = 0,1,2,…,L
$$
它的 FISST PDF变为
$$
f(\mathbf{M})= \frac{L!}{(L-|\mathbf{M}|)!}q^{|\mathbf{M}|}(1-q)^{L-|\mathbf{M}|}\prod_{ \mathbf{m}\in \mathbf{M}}{p(\mathbf{m})}
$$
注意： 当$L = 1$, 二项式RFS就变成伯努利RFS
假设我们在 k 时，有了有限集来表示多目标，$\mathbf{M}k = {\mathbf{m}{k,1},…,\mathbf{m}{k,n_k}}$，这里$n_k$是时变目标的数目。我们假设这个过程是一个 Markov 过程，他的传递密度是$\phi{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{M}{k-1})$。$\mathbf{M}k$的观测为$\mathbf{Z}_k$，他可以是向量，一个 RFS 也可以是一个封闭集。$h_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{X}_k)$是似然函数。通过
$$
f{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{Z}{1:k-1})=\int {\phi_{k|k-1}(\mathbf{M_k|\mathbf{M}{k-1}})f{k-1}(\mathbf{M}{k-1}|\mathbf{Z}{1:k-1})\sigma{\mathbf{M}k}}
$$
$$
f{k}(\mathbf{M}{k}|\mathbf{Z}{1:k})= \frac{h_k(\mathbf{Z}k|\mathbf{M}k)f{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{Z}{1:k-1})}{\int{h_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{M})f{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k-1})}\sigma{\mathbf{M}}}
$$
RFS是贝叶斯的非同寻常的扩展，因为传递密度和似然密度可以很复杂。